Reducción del coste computacional asociado a la redundancia en la representación de la orientación empleando subespacio nulo en problemas de dinámica de sólidos
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Resumen
En este trabajo se presenta un estudio sobre la posibilidad de reducir el coste computacional asociado al incremento de variables que se produce cuando se resuelven problemas de dinámica de sólidos empleando sistemas redundantes de parametrización de la matriz de rotación, tal y como sucede cuando se emplean cuaterniones. Para ello se hace uso del subespacio nulo de la matriz Jacobiana de las restricciones asociadas a la parametrización (en el caso de los cuaterniones, la norma unidad). Teniendo en cuenta que estas restricciones afectan exclusivamente a los términos asociados al sólido cuya orientación es representada por el conjunto de parámetros, las dimensiones de este subespacio nulo son muy reducidas. Esto lleva a la posibilidad de aplicar este subespacio nulo a cada submatriz correspondiente a las ecuaciones de equilibrio y restricciones, reduciendo las dimensiones globales del problema. En el caso de problemas de tamaño pequeño en los que se pueden emplear matrices densas la reducción de coste está asociada a la reducción de las dimensiones del sistema a tratar, mientras que en el caso de sistemas de gran tamaño, esta reducción no solo debería afectar a las dimensiones, sino también a la reducción del trabajo organizativo (factorización simbólica y otros) necesario para trabajar de forma eficiente con matrices dispersas.
El cálculo del subespacio nulo habitualmente se considera que tiene un coste que muchas veces hace este tipo de operaciones poco eficaces. Sin embargo, el bajo tamaño de las matrices involucradas así como el empleo de un procedimiento de bajo coste para la obtención del subespacio nulo hace que este método lleve a reducciones notables del coste computacional, habiéndose constatado en las pruebas preliminares llevadas a cabo reducciones del 15% en el caso de cuaterniones y hasta el 80% cuando se emplea la matriz de rotación completa.
En el documento se desarrolla el planteamiento del problema, los algoritmos empleados en el trabajo, varios ejemplos en los que se muestra la eficiencia del algoritmo, y una serie de conclusiones y planteamientos sobre trabajos futuros.
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