Identificación eficiente de sistemas dinámicos: Combinando SINDy y conocimiento mecánico

Resumen

La obtención de forma automática de leyes físicas que gobiernan un sistema únicamente a partir de datos siempre ha sido de gran interés en muchos campos científicos. En el ámbito de la ingeniería mecánica, este proceso se denomina identificación de sistemas. Se basa en utilizar datos de mediciones para deducir las ecuaciones que rigen, en forma de sistemas dinámicos, la descripción de dichos datos. Una vez que se descubren estas ecuaciones, éstas pueden emplearse para predecir el comportamiento futuro del sistema, determinar qué acciones o ajustes deben realizarse para controlar el sistema de manera efectiva o utiliza métodos matemáticos y analíticos para comprender mejor su comportamiento.
Recientemente, las técnicas de modelado basados en datos por medio de procesos de regresión dispersa, como el algoritmo SINDy (Sparse Identification of Nonlinear Dynamical systems) y sus diferentes modificaciones, se han desarrollado para resolver las dificultades en la extracción de la dinámica subyacente a partir de datos experimentales. Este algoritmo identifica estos modelos mediante la construcción de una colección de funciones candidatas (denominada biblioteca) que describen la dinámica del sistema. Mediante las técnicas de regresión dispersa selecciona las funciones más relevantes, promoviendo soluciones simples y parsimoniosas. El resultado final es un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del sistema. Su principal ventaja es que los modelos resultantes son intrínsecamente interpretables y generalizables. La desventaja es que la creación de esta biblioteca de funciones se realiza mediante un enfoque de "fuerza bruta". Es decir, se generan muchas funciones candidatas de manera exhaustiva, sin un conocimiento previo específico sobre cuáles son las más adecuadas para describir la dinámica del sistema.
En este trabajo se propone aprovecha el conocimiento previo relativo a la naturaleza del sistema a analizar, un sistema mecánico. Esto permite generar una biblioteca de funciones en la que las funciones cumplen una serie de condiciones extraídas de la mecánica: análisis dimensional (unidades de las funciones ha de ser coherentes con el sistema), simetrías en la ecuaciones (matriz de masa) o recursividad (aprovechamiento de la estructura cinemática del sistema) entre otras. Al limitar la biblioteca a unas que sí tienen sentido físico, se reduce el espacio de búsqueda, lo que puede acelerar el proceso de identificación y hacer el algoritmo más eficiente.
Este procedimiento se ha probado en varios sistemas mecánicos con diferentes características: lineal y no lineal, número de grados de libertad o espacio de trabajo (2D o 3D) verificando el resultado con las ecuaciones ya conocidas que describen estos sistemas.
Esta metodología permite no solo obtener las ecuaciones dinámicas (ya conocidas en muchos casos), si no que además puede ser implementada para situaciones en las que la física exacta de un fenómeno es desconocida o para obtener sistemas de orden reducido, donde ciertas partes de la física a modelar no sean relevantes en el modelo.